النقطه الصامدة

1- مقدمة :

نهتم في هذا الدرس ببعض جوانب مفهوم الاستمرار دون غيرها باعتبار أن القارئ ملم بهذا المفهوم الذي يتم تدريسه لتلاميذ المرحلة الثانوية. فلا بد لنا من التذكير بجملة من التعاريف وتقديم بعض النظريات والنتائج المتعلقة بالاستمرار. وسنهمل الحديث عن العديد من النتائج مثل تركيب الدوال المستمرة وعلاقة تحدّب الدوال بالاستمرار. بينما سنولي اهتماما خاصا بالاستمرار بانتظام لأن الكثير من النظرية المستخدمة في التحليل الرياضي، سواء في التعليم الثانوي أو الجامعي، تقوم عليه.

وسننتقل بعد ذلك إلى الحديث عن مفهوم التقليص contraction الذي يعتبر حالة خاصة من الاستمرار، وذلك لربطه بالنتيجة المعروفة بنظرية النقطة الصامدة théorème du point fixe. أما أهمية هذه النظرية في الرياضيات ومختلف الفروع المعرفية الأخرى فسنشير إليها خلال عرضنا. كما سنتناول بعض المراحل التاريخية التي مرت بها نظرية النقطة الصامدة التي تمثل إحدى أكثر النتائج الرياضية استعمالا.

لقد عرفت نظرية النقطة الصامدة خلال تطورها، على مرّ قرابة قرن من الزمن، العديد من الصيغ، وهو جعلها أداة رياضية فعالة في حل المسائل المختلفة. والظاهر أن برامجنا التعليمية في حقل الرياضيات لا تحيط هذه النظرية بالعناية التي تستحقها فركّزنا عليها في هذا الدرس بالذات لأنها منبثقة، في الواقع، من مفهوم الاستمرار.

2- الاستمرار :

ما معنى استمرار (أو اتصال) دالة ؟ نستطيع أن نقرّب فكرة الاستمرار بالقول إننا نتحدث في اللغة العامة عن استمرار وضعية إذا تواصلت دون حدوث انقطاعات مفاجئة في مسيرتها. وبنفس المنظور نقول عن دالة y=f (x)x إنها مستمرة إن كان أي تغيّر طفيف يطرأ على المتغير x يواكبه سلوك مماثل - أي تغير طفيف- لـ y. كيف نعبّر بالدقة الرياضية اللازمة عن هذا المفهوم ؟

تعريف :

لتكن دالة معرفة على مجال مفتوح I تنتمي إليه نقطة a. نقول عن f إنها مستمرة عند a إذا تحقق الشرطان :

أ- النهاية موجودة (في IR).

ب- .

نعبّر عن هذا التعريف رمزيا (يسميه البعض التعريف بـ أو ) بطريقة كوشي (1789-1857)-شفارتز (1843-1921) Cauchy-Schwarz بـ :

ونعرّف الاستمرار على المجال I إن كانت الدالة مستمرة عند كل نقطة من I. ونعرّف الاستمرار من جهة واحدة (من اليمين أو من اليسار) بتقييد مآل x نحو a بالقيد x > a أو x < a. وبطبيعة الحال فإن الاستمرار عند نقطة يعني أن هناك استمرارا من جهتي تلك النقطة.

كيف نفسّر العلاقة ؟

التي تعبر عن استمرار f عند a ؟

نلاحظ أولا أن تعني بأن f (x)x تنتمي إلى مجال مركزه f (a)x، وهو . كما أن تعني أن x ينتمي إلى مجال مركزه a، وهو . وبالتالي فالعلاقة المعبِّرة عن الاستمرار تقول :

مهما كان
المجال الذي مركزه f (a)i
فإنه يوجد
مجال مركزه a صورته محتواة في المجال الذي مركزه f (a)i.

وهذا يعني :

الصورة العكسية لأي مجال مركزه f (a)i تحتوي مجالا مركزه a.

وما دمنا نعرف جوار نقطة على أنه مجموعة تحتوي مجالا مركزه تلك النقطة فإننا نستطيع القول بأن :

استمرار f عند a
يعني
الصورة العكسية لكل جوار لـ f(a)i هو جوار لـ a.

ملاحظة : من المهم أن يكون المجال I مفتوحا في التعريف السابق. وإن لم يكن الأمر كذلك. فلا بد أن نضيف في التعريف شرطا يقول إن النقطة a تنتمي إلى مجال مفتوح محتوى في I. وبدون ذلك فإن الكتابة الظاهرة تحت الرمز lim في الشرطين الواردين في التعريف قد تؤدي إلى تناقض. ويتمثل هذا التناقض في عدم ضمان مكوث قيم x في مجموعة تعريف f عندما يقترب x من a. وكيف يجوز لنا في هذه الحالة كتابة f(x)i !! ؟

وعلى الرغم من الطابع المنطقي والحدسي لمفهوم النهاية والاستمرار فإن التجربة تثبت بأنه مفهوم صعب الإدراك بالنسبة للطلبة كما أن التجربة التي عرفتها الرياضيات قبل عهد كوشي-شفارتز تؤكد ذلك إذ ظل الرياضيون عدة قرون ينظّرون قبل أن يهتدوا إلى ما وصلنا إليه الآن بخصوص هذا المفهوم.

لعل البعض يعتبر أن كل الدوال مستمرة (مثل دوال كثيرات الحدود ودالة الجيب وجيب التمام المثلثيتين والدالة اللوغريتمية والدالة الأسية، ...) وإن وجدنا بعضا منها غير مستمرة فعدم استمرارها لا يحدث إلا في نقاط معدودات أو في مجموعة قابلة للعد. إليك بعض الأمثلة في هذا السياق :

مثال 1 : الدالة المعرفة بـ

بيان الدالة f

مستمرة في كل مكان سوى في النقطة 0.

مثال 2 : تصور الآن أننا نعيد النظر في المثال السابق ونكرر ما حدث في 0 عند كل قيمة لـ x تساوي عددا صحيحا، أي أننا نعتبر الدالة المعرفة مثلا كما يلي (حيث يشير n لعنصر كيفي من مجموعة الأعداد الصحيحة) :

إنها دالة غير مستمرة عند عدد غير منته من النقاط. مجموعة هذه النقاط هي مجموعة الأعداد الصحيحة.

بيان الدالة g

مثال 3 : لديك مثلا آخر في الدالة المساوية للظل على كامل مجموعة الأعداد الحقيقية باستثناء المضاعفات الفردية لـ والمساوية لـ 0 (مثلا) عند تلك المضاعفات.

أرسم بيان هذه الدالة.

نحصل بهذا الشكل على دالة مستمرة في كل مكان ما عدا عند المضاعفات الفردية .

مثال 4 : يمكن أيضا التفكير في الدالة المعرفة على المجال IR كالتالي حيث يشير [x] إلى الجزء الصحيح لـ x :

u(x) = [x]r

إن الدالة u مستمرة ما عدا عند قيم مجموعة الأعداد الصحيحة.

بيان الدالة u

مثال 5 : نطرح السؤال التالي : هل توجد دالة ليست مستمرة في أية نقطة على IR ؟ هذا السؤال ليس وليد اليوم ولذا بحث فيه أسلافنا واهتدوا إلى إنشاء دالة من هذا القبيل. خذ مثلا الدالة التالية حيث يرمز Q لمجموعة الأعداد الناطقة :

لاحظ أنها دالة لا يمكن رسم بيانها وهي غير مستمرة عند كل نقطة من IR.

مثال 6 : نطرح السؤال التالي : هل توجد دالة مستمرة في كل مكان ولا تقبل الاشتقاق في أية نقطة على IR ؟ لقد أنشأ أسلافنا دالة من هذا القبيل، وتسمى هذه الدالة دالة فان ديرفاردن Van der Waerdenن (1903-1996) .

3- الاستمرار المنتظم :

نتناول فيما يلي مفهوم الاستمرار المنتظم الذي يؤدي دورا هاما في قيام العديد من النتائج البارزة في التحليل الرياضي، والتي سنقدم البعض منها.

تعريف :

لتكن دالة معرفة على مجال I. نقول عن f إنها مستمرة بانتظام على مجال I إذا تحقق الشرط :

ملاحظة : لاحظ أن الاستمرار المنتظم يتعلق بمجال التعريف بأكمله وليس بنقطة منه. ما الفرق بين استمرار دالة على مجال واستمرارها المنتظم على نفس المجال؟ الفرق يتعلق بالعدد الموجب a : فإذا استطعنا إثبات بأن هذا العدد لا يتغير بتغير النقطة التي ندرس فيها الاستمرار فإن الاستمرار منتظم. أما إذا برهنا بأنه لا يمكن اختيار نفس العدد a لجميع نقاط المجال I بعد اختيارنا لـ e فإن الاستمرار غير منتظم.

مثال 1 : الدالة الجيبية f(x) = sin x المعرفة على IR. نذكر بالعلاقة المثلثية المحققة من أجل كل عددين حقيقيين x و y :

ومنها نستنتج :

ومن ثم يتضح أن تطبيق التعريف السابق على الدالة الجيبية يتحقق بمجرد اختيار a مساويا لـ e. وهذا يعني أن a مستقل عن النقاط التي يمكن أن ندرس عند ا الاستمرار. وبالتالي فالدالة الجيبية مستمرة بانتظام.

مثال 2 : نعتبر دالة f تحقق الخاصية التالية المسماة شرط ليبشيتز Lipschitzن (1832-1903) : يوجد ثابت K موجب تماما بحيث من أجل كل عنصرين x و y ينتميان إلى مجموعة تعريف f فإن

تسمى دالة تحقق هذا الشرط دالة ليبشيتزية.

نلاحظ أن كل دالة ليبشيتزية دالة مستمرة بانتظام إذ يكفي اختيار (في تعريف الاستمرار المنتظم) .

عندما يكون الثابت K ينتمي إلى المجال ]0,1[ نقول إن f تقليص contraction. سوف نعود إلى هذا التعريف لاحقا.

مثال 3 : الدالة g المعرفة على ]0,1[ بـ . ليكن n عددا طبيعيا غير منعدم. نضع ونلاحظ أن x و y ينتميان إلى ]0,1[ من أجل كل عدد طبيعي n غير منعدم. ثم نحسب

ومن ثمّ يتبّن عندما نجعل n يؤول إلى ¥+ أن |x-y| يؤول إلى 0 بينما يؤول |g(x)-g(y)r| إلى ¥+. وهذا يتنافى مع الاستمرار المنتظم الذي يتطلب قيام الاستلزام :

وبالتالي فإن g غير مستمرة بانتظام على المجال ]0,1[ رغم أنه مستمر على نفس المجال.

لاحظ أن إثباتنا عدم انتظام استمرار g كان يركّز على النقطة 0 وجوارها لأننا جعلنا n يؤول إلى ¥+ وهذا يعني أن x و y يؤولان إلى 0. ولذا نستطيع القول إن عدم انتظام الاستمرار ناتج من الطرف 0 من مجال التعريف [0,1[. ومما يؤكد ذلك النظرية التالية :

نظرية : كل دالة مستمرة على مجال I=[a,b]r متراص (أي مغلق ومحدود) دالة مستمرة بانتظام على I.

البرهان (بالخلف) : نفترض أن f مستمرة وغير مستمرة بانتظام على [a,b]. عندئذ يبيّن نفي انتظام الاستمرار وجود eد > 0 و متتاليتين x_n و y_n بحيث

يتضح من العلاقة

أن المتتاليتين x_n و y_n محدودتان. وبالتالي نستطيع تطبيق نظرية تسمى نظرية بولزانو (1781-1848)-فايرستراس (1815-1897) Bolzano-Weierstrass على x_n واستخراج متتالية جزئية x_ni متقاربة. نرمز لنهايتها بـ l. ولما كان

فإن

. وهكذا نستنتج أن y_ni متقاربة أيضا ونهايتها تساوي l.

وبالرجوع إلى العلاقة

وجعل i يؤول إلى ¥+ في المتباينة نصل بفضل استمرار f إلى التناقض .

أين نحتاج إلى استمرار f ؟ نحتاجه عندما نقول بأن استمرار f عند l المنتمي إلى المجال [a,b] (وضّح لماذا؟) يؤدي إلى .

نظرية : كل دالة f مستمرة على متراص [a,b] دالة محدودة وتدرك حديها الأعلى والأدنى.

البرهان :

1) نفرض أن f غير محدودة من الأعلى ومستمرة على [a,b]. لاحظ أنها مستمرة بانتظام حسب النظرية السابقة. من أجل كل عدد طبيعي n يوجد عنصر x_n من [a,b] بحيث f|f(x_n)|>n. ولما كانت المتتالية x_n محدودة (بحكم انتمائها إلى مجال محدود) فإننا نستطيع أن نستخرج منها متتالية جزئية x_nk متقاربة ونهايتها x تنتمي إلى [a,b] لأن . ومن ثم نحصل على تناقض يتمثّل في : من جهة لدينا

ومن جهة أخرى تؤدي العلاقة f|f(x_nk)|>n_k إلى

وبالتالي فالدالة f محدودة من الأعلى.

تمرين : البرهان على أن f محدودة من الأدنى شبيه بالبرهان على المحدودية من الأعلى. قدّم تفاصيل البرهان على المحدودية من الأدنى.

2) نواصل البرهان بالتأكد الآن من أن الدالة f المستمرة على [a,b] تدرك حدها الأعلى، أي أنه توجد نقطة x من [a,b] بحيث .

نقدم برهانا بالخلف : نعلم مما سبق أن موجود في IR. لنضع ولنفرض أن

نلاحظ أن الدالة u المعرفة على [a,b] بـ

دالة مستمرة على [a,b]. ومن ثمّ فهي مستمرة بانتظام ومحدودة على [a,b]. نضع . من المؤكد أن

وعليه t > 0 و

ومنه ينتج

وهذا يتنافى مع القول إن . هذا التناقض ناجم من افتراضنا

الذي يعني أنه لا وجود لنقطة x من [a,b] بحيث . إذن فإن f يدرك حده الأعلى.

تمرين : قدّم تفاصيل إدراك f لحده الأدنى.

ملاحظة : لاحظ أن محدودية المجال مهمة في هذه النظرية. للتأكد من ذلك خذ مثلا إحدى الدالتين : دالة الظل على المجال أو الدالة g المعرفة على [a,b] بـ .

لاحظ أيضا أن غلق المجال مهم في النظرية السابقة. للتأكد من ذلك اعتبر كمثال الدالة g أو الدالة h المعرفة على المجال ]1,2004] بـ h(x) = x فهي لا تدرك حدها الأعلى في المجال المعتبر.

من النظريات المهمة أيضا في موضوع الدوال المستمرة النتيجة التالية نظرية القيم الوسطى التي برهن عليها لأول مرة خلال الربع الأول من القرن التاسع عشر التشيكي بولزانو والفرنسي كوشي. تقول هذه النظرية – بتعبير بسيط - إننا لا نستطيع المرور من ضفة إلى أخرى عبر نهر بدون قفز ودون أن تبتلّ أقدامنا. ونعبّر عن ذلك رياضيا بالقول : إذا أخذت دالة مستمرة لمتغير واحد إشارتين مختلفتين عند قيمتين a و b فإن هذه الدالة تنعدم، على الأقل مرة واحدة، بين a و b. وهو ما يقول النص المألوف التالي :

نظرية : لتكن f دالة مستمرة على مجال متراص [a,b]. إن كان f(a)r.f(b)<0 فإنه توجد نقطة c من [a,b] بحيث f(c)=0.

البرهان : لنفرض مثلا بأن f(a)>0 (ومنه سيكون f(b)<0). ولنضع

وc = sup X. ولنبيّن أن f(c) = 0.

من الواضح أن a. فلو كان f(c) K 0 لوجد مجال مركزه c تحتفظ فيه f بإشارتها الموجبة، وذلك بفضل استمرار f (وضّح ذلك). وهذا يناقض القول c=supX الذي يعرف النقطة c. وبالتالي f(c)=0.

نستنتج من ذلك هذا التعميم :

نظرية :

لتكن دالة مستمرة على مجال كيفي I. ولتكن f(x₁)r و f(x₂)r قيمتين لـ f حيث x₁ < x₂.

عندئذ من أجل كل عنصر c محصور بين f(x₁)r و f(x₂)r يوجد عنصر x₀ من المجال ]x₁,x₂[ يحقق f(x₀)=c.

ملاحظة :

ينتج من ذلك أن صورة مجال عبر دالة مستمرة هي أيضا مجال. كما ينتج من هذه النظرية والتي سبقتها في حالة تراص المجال [a,b] أن صورة هذا المجال هي المجال .

تمرين 1 نفرض أن دالتين مستمرتان على IR ومتطابقتان على مجموعة الأعداد الناطقة. أثبت تطابق الدالتين على IR.

حل التمرين 1.

تمرين 2 لتكن دالة f معرفة ومستمرة على مجال I باستثناء نقطة x₀. نفرض أن موجودة ونرمز لها بـ l. تسمى الدالة

تمديد f بالاستمرار إلى x₀.

هل يمكن تمديد الدالة f المعرفة على IR^*r بـ

لتكون مستمرة على IR.

حل التمرين 2.

هناك خواص أخرى تتمتع بها الدوال المستمرة تربطها بكثيرات الحدود التي تعتبر من أبسط الدوال المستمرة. ومن تلك النتائج نسوق اثنتين هما :

نظرية (التقريب لفيرستراس Weierstrass) :

لتكن دالة f : I Ì IR ¾¾ IR مستمرة حيث I مجال متراص. توجد متتالية كثيرات حدود P_n تتقارب بانتظام نحو f، أي

أما النتيجة الثانية فهي تعبر عن نفس الفكرة لكنها تحدّد متتالية كثيرات الحدود التي تتقارب بانتظام نحو أية دالة f مستمرة على المجال [0,1]. يحتاج تقديم نصها إلى التعريف التالي:

تعريف :

لتكن f دالة مستمرة على المجال [0,1]. نعرّف، من أجل كل عدد طبيعي n، كثير الحدود B_n(f)r متعلق بـ f على النحو

حيث .

تسمى المتتالية B_n(f)r متتالية كثيرات حدود سرجي برنشتين e(1968-1880) Bernstein

نظرية :

من أجل كل دالة f مستمرة على المجال [0,1] فإن متتالية كثيرات حدود برنشتين تتقارب بانتظام نحو f في المجال [0,1]، أي أن

مراحل البرهان :

يتم البرهان باتباع الخطوات الحسابية التالية :

نلاحظ أن .	1-
استنادا إلى نظرية فيرستراس يكفي البرهان على النتيجة عندما تكون f مساوية لكثير حدود.	2-
*تبيّن الحسابات أنه يكفي إثبات النتيجة في الحالة التي يكون فيها وحيد حد، أي f(t)=t^m.*	3-
*نثبت النظرية من أجل f(t)=t^m* بطريقة البرهان بالتراجع بالنسبة لـ m.**	4-

نلاحظ أن هناك برهانا آخر يستند إلى جداء التزاوج وخواصه.

4- نظرية النقطة الصامدة، من أين أتت؟

نبدأ بتقديم تعريف الفضاء المتري.

تعريف :

لتكن E مجموعة كيفية. وليكن d : E x E ¾¾® IR⁺r تطبيقا يحقق الخواص الثلاث التالية :

d (x,y) = 0 Þ x = y	1-
" x,y Î E : d (x,y) = d (y,x)	2-
*" x,y,z* Î E : d (x,z) £ d (x,y) + d (y,z)**	3-

يسمى التطبيق d مسافة على E. ويسمى E المزود بهذه المسافة فضاء متريا.

ونعرف استمرار دالة f : E ¾¾® Fr عند نقطة a من E (عندما يكون E و F فضاءين متريين) بالعلاقة :

وتكون الدالة f : E ¾¾® Fr مستمرة على E إذا كانت مستمرة عند كل نقطة من E.

إن المكتشف الرسمي لنظرية النقطة الصامدة هو الرياضي الهولندي لويتزن يان بروور Brouwer ر(1881-1966). غير أن الواقع يقتضي منا إضافة أسماء عديدة أخرى إلى شهادة ميلاد هذه النظرية. ذلك أنها عرفت عدة نصوص وبراهين مختلفة خلال فترات متقطعة تمتدّ من نهاية القرن التاسع عشر إلى منتصف القرن العشرين. وسبب هذا الإحياء المتجدد لنظرية النقطة الصامدة يعود بالدرجة الأولى إلى تجاوز أهمية هذه النظرية السياق الهندسي البحت. فبفضل هذه النظرية نستطيع الإجابة عن أسئلة تتعلق بأبعاد الفضاءات. كما تسمح نظرية النقطة الصامدة بإثبات وجود حلول للمعادلات الفيزيائية. لقد بلغ سن هذه النظرية قرابة مئة سنة، لكنها لا تبدو بهذا العمر : فسواء درست الأشكال الهندسية المسماة الأشكال الفركتالية (الأكسورية) أو مجريات عمليات البورصة أو تأكدت من دقة العدّاد الكهربائي فإنك ستلتقي دوما بنقاط صامدة.

كان بروور يبحث عام 1910 عن حل مسألة أساسية طرحها جورج كنتور Cantor ء(1845-1918) عام 1878 حين تمكّن هذا الأخير من إنشاء تطبيق تقابلي بين المستوي والمستقيم. وهكذا صارت تلك العلاقة بين هاتين المجموعتين من النقاط (المستقيم والمستوي) تطرح مسألة جوهرية تتعلق بمفهوم بُعد الفضاء : لماذا نعتبر كائنين رياضيين أنهما مختلفان إن تمكّنا من تحويل أحدهما إلى الآخر؟

لقد أدرك الرياضيون بسرعة بأن التطبيق التقابلي لكنتور ليس مستمرا، وهذا يعني أنه تحويل "يشتّت" النقاط : تكون صورة مجموعة نقاط "متلاصقة" على المستقيم مجموعة نقاط "مبعثرة" على المستوي. بينما تعوّد الرياضيون على التعامل مع التحويلات المستمرة، ذلك أن جلّ قوانين الطبيعة قوانين مستمرة. كما يلاحظ أن التحويلات غير المستمرة كائنات رياضية غير منسجمة ويصعب تحديد خواصها العامة.

والواقع أن افتقاد تقابل كنتور لخاصية الاستمرار قد طمأن الرياضيين في موضوع سلامة فكرة التمييز بين فضاءات مختلفة الأبعاد. ورغم ذلك ظل السؤال مطروحا : صحيح أن هذا التقابل غير مستمر، لكن ألا يوجد تحويل آخر مستمر بين المستوي والمستقيم، أو (بصفة أعمّ) بين فضاءين أقليديين مختلفي البعدين؟ للبرهان على أن هذا الاحتمال غير وارد أدخل بروور تقنيات جديدة أحدثت فيما بعد هزة في حقل الطبولوجيا: إنها نظرية النقطة الصامدة.

5- ماذا تقول نظرية النقطة الصامدة؟

النقطة الصامدة لتحويل هي نقطة تظل ثابتة عبر هذا التحويل، أي أنها نقطة تتطابق مع صورتها. مثال ذلك : نعتبر مجموعة نقاط من الفضاء تشكل كرة ونقوم بتحويلها إلى الكرة ذاتها :

مثال 1 : التحويل الذي يحوّل كل نقطة من الكرة إلى نظيرتها بالنسبة إلى مقطع استوائي. إنه تناظر بالنسبة لمستوٍ استوائي للكرة. نلاحظ أن كل نقاط مستوي التناظر نقاط صامدة.

مثال 2 : التحويل المتمثل في دوران حول محور يمرّ بمركز الكرة. كل نقاط محور الدوران نقاط صامدة.

مثال 3 : التحويل الذي يحوّل كل نقطة إلى نظيرتها بالنسبة إلى مركز الكرة. هناك نقطة صامدة وحيدة هي مركز الكرة.

ملاحظة :

ما دور الاستمرار هنا؟ لاحظ أنه ليس من الضروري أن تكون لكل تطبيق، يحوّل الكرة إلى الكرة ذاتها، نقاط صامدة. للتأكد من ذلك نعتبر التحويل الوارد في المثال 3 السابق مع تعديل طفيف يتمثّل في تحويل مركز الكرة إلى نقطة أخرى تختلف عن المركز : بذلك يفقد التحويل نقطته الصامدة الوحيدة.

ماذا حدث؟ لقد فقدَ هذا التحويل الجديد خاصية الاستمرار بجوار مركز الكرة. إن مفهوم الاستمرار يضع حدا فاصلا بين التحويلات التي تتمتع دوما بنقاط صامدة وتلك التي قد لا تتوفر فيها هذه الخاصية.

ماذا تقول نظرية النقطة الصامدة؟ تنص نظرية النقطة الصامدة لبروور على أن كل تطبيق مستمر ويحوّل الكرة إلى الكرة ذاتها هو تحويل يمتلك نقطة صامدة على الأقل. بمعنى أننا إذا حرّكنا جميع نقاط الكرة وغيّرنا مواقعها دون الخروج من الكرة وراعينا خاصية الاستمرار أي خاصية الحفاظ على تجاور النقاط (النقاط المتجاورة قبل التحريك تظل متجاورة بعده) فإن هناك نقطة على الأقل تحافظ على موقعها الأول إثر عملية التحريك.

كانت مسألة أبعاد الفضاء التي طرحها كنتور تبدو بعيدة المنال لدى ظهور نص نظرية النقطة الصامدة. فقد كان بروور يعتبر أن الصلة بين حل مسألة البعد وبين نظريته المتعلقة بالنقطة الصامدة صلة ضعيفة على الرغم من أن هناك صلة مباشرة بينهما. وهكذا برهن ولاديسلاو Wladyslaw وتورزانسكي Turzansky عام 1988 باستخدام نظرية بروور على عدم تغيّر البعد عندما يتعلق الأمر بتحويل مستمر.

تثبت نظرية النقطة الصامدة أنه توجد على الأقل نقطة صامدة، لكن كم يبلغ عدد تلك النقاط؟ وفي أية حالة تكون هذه النقطة، مثلا، وحيدة؟ لقد بحث الرياضيون منذ فترة طويلة – سواء عن قصد أو عن غير قصد – في خواص التحويل ومجموعة النقاط التي نجري عليها التحويل الضامن لوحدانية النقطة الصامدة.

من أقدم النتائج المتعلقة بالنقطة الصامدة تلك المتعلقة بالتقليص contraction.

تعريف :

لتكن دالة f : E ¾¾® Er حيث E فضاء متري. نقول عن f إنه تقليص في E إذا وجد ثابت K ينتمي إلى المجال ]0,1[ بحيث :

ذلك هو التعريف الرياضي لمفهوم التقليص. وما يهمنا معرفته هنا بخصوص هذا المفهوم هو أن كل تقليص لفضاء متري معين في نفسه يمتلك نقطة صامدة واحدة. وحتى نحصل على هذه النقطة نقوم بما يلي: ننطلق من نقطة كيفية في المجموعة ونحسب قيمها التكرارية المحصل عليها إثر إجراء كل عملية تقليص. إن متتالية النقاط الناتجة تقترب لانهائيا من النقطة الصامدة. وهكذا نحدّد تقريبا لهذه النقطة يمكن أن نجعله دقيقا بالمقدار الذي نريد. والحقيقة أن ضمان النجاح في هذه العملية يستوجب أن يكون الفضاء المتري الذي نعمل فيه تاما complet، أي أن كل متتالية كوشية فيه متتالية متقاربة، وهذا يعني أن إثبات تقارب متتالية أو إثبات أنها كوشية قضيتان متكافئتان.

وبعبارة أخرى يكون فضاء تاما إذا كانت كل متتالية تتقارب عناصرها فيما بينها لانهائيا متتالية متقاربة نحو نقطة تنتمي إلى المجموعة. علينا ألا نعتقد بأن هذه الخاصية متوفرة في كافة الفضاءات المترية : تمثل مجموعة الأعداد الناطقة في هذا السياق مثالا مضادا لأننا نعلم أن هذه المجموعة كثيفة في مجموعة الأعداد الحقيقية. وبالتالي إذا أخذنا مثلا العدد غير الناطق فإنه توجد متتالية x_n من الأعداد الناطقة تؤول إلى . ومنه فهي متتالية كوشية على الرغم من أنها لا تتقارب في مجموعة الأعداد الناطقة.

دعنا الآن نكتب النتيجة التي شرحناها آنفا في شكل نظرية ونبرهن عليها. نلاحظ أن هذه النظرية يسميها البعض "مبدأ التقليصات" ويسميها البعض الآخر نظرية ستيفان باناخ Banach خ(1892-1945) تشريفا للرياضي البولندي ستيفان باناخ الذي قدم عام 1922 صيغة أولية مجردة لهذه النتيجة.

نظرية :

ليكن E فضاء متريا تاما و f : E ¾¾® Er تقليصا، أي أنه يوجد ثابت موجب r1>K بحيث (تشير d للمسافة المعرفة على E) :

عندئذ يقبل f نقطة صامدة وحيدة.

البرهان :

ليكن x₀ عنصرا من E. نرمز بـ fⁿ لتركيب الدالة f مع نفسها n مرة، ثم نضع x_n=fⁿ(x₀)r أي x_n=f(x_n-1)r فنعرّف متتالية x_n من E نريد إثبات بأنها كوشية. من أجل كل عددين طبيعيين n و m بحيث m > n لدينا :

ذلك لأن 1> r0<K. وبالتالي فإن المتتالية x_n كوشية. وبما أن الفضاء E تام فإن المتتالية متقاربة. نرمز بـ x لنهايتها. نلاحظ (بفضل استمرار f الناتج من تقلصها) أن :

f(x) = f(limx_n)= lim f(x_n) = lim x_n₊₁ = x

وبالتالي فإن x نقطة صامدة لـ f حيث أن f(x) = x.

أما وحدانية النقطة الصامدة فنبيّنها بافتراض وجود نقطيتين صامديتين x و y وكتابة علاقة التقليص :

d(x , y) = d(f(x) , f(y))£ Kd(x , y)

تؤدي هذه العلاقة إلى المساواة y = x لأن 1> r0<K. ومنه ينتهي البرهان.

ملاحظة :

يمكن توضيح عملية التكرار مستخدمين آلة حاسبة باعتبار مثلا الدالة جيب التمام cosinus. فهذه الدالة ليست تقليصا لكنها تقبل مثل التقليصات نقطة صامدة. إنها تحوّل مجموعة الأعداد الحقيقية إلى مجموعة الأعداد المحصورة بين -1 و +1. عندما نضغط بصفة متوالية في الآلة الحاسبة على الزر cos انطلاقا من قيمة عددية a فإننا نحصل على سلسلة قيم هـي تتقارب نحو القيمة 0.739085133. يمثل هذا العدد القيمة التقريبية بعشر أرقام بعد الفاصلة للنقطة الصامدة x للتحويل cos، أي العدد x الممثل لحل المعادلة cos x = x وهو حل يستحيل أن نجد له عبارة دقيقة.

تنطبق نظرية النقطة الصامدة لباناخ على تقليصات مجموعات عامة جدا (دون قيود حول شكلها). غير أن شرط التقلص يعتبر قيدا، فهو لا يتحقق في التحويلات الثلاثة الخاصة بالكرة المعتبرة في أمثلة سابقة ( التناظر بالنسبة لمستوي التناظر بالنسبة لمحور والتناظر المركزي) لأن كل تلك التحويلات تحافظ على المسافات (أي أنها تقايسات) ورغم ذلك حصلنا على نقاط صامدة. والأمر كذلك أيضا عندما ندير قرصا أو حلقة حول مركزهما، مع الملاحظة أن هناك نقطة صامدة في حالة القرص بينما لا وجود لمثل هذه النقطة في حالة الحلقة.

وحتى نحصل على نظرية نقطة صامدة لتحويلات أكثر عمومية من التقليصات فمن الواجب افتراض قيود إضافية على المجموعة المحصل عليها بعد التحويل. وهذه القيود هي بمثابة شروط طبولوجية كتلك التي تميّز بين القرص والحلقة : إن وجود ثغرة في الحلقة هو الذي يمكن أن يكون سببا في عدم وجود نقطة صامدة.

كان الرياضي الفرنسي بوانكري Poincaré ي(1854-1912) منشغلا عام 1883 بالمسألة المفتوحة المتعلقة باستقرار النظام الشمسي. وكان السؤال المطروح هو : هل تتحرك ثلاثة أجرام سماوية على مدارات دورية عندما تتجاذب فيما بينها عبر قوة الجاذبية ؟ كان بوانكري يحتاج إلى تعميم نظرية القيم الوسطى فقام بذلك باعتبار دوال متعددة المتغيرات. وقد أثبت بوانكري مثلا النتيجة التالية التي نصيغها قصد التبسيط في حالة معادلتين بمجهولين f(x , y) = 0 و g(x , y) = 0 : إذا وجدنا مربعا ABCD بحيث تأخذ الدالة f إشارتين مختلفتين على الضلعين المتقابلين AB و DA وتأخذ الدالة g إشارتين مختلفتين على الضلعين المتقابلين BC و DA فإن جملة المعادلتين السابقتين تقبل، على الأقل، حلا يقع داخل المربع. والواقع أن بوانكري أثبت هذه النظرية في الحالة العامة المتعلقة بجملة معادلات عدد مجاهيلها كيفي. إن نظرية النقطة الصامدة التي تحدث عنها بروور حالة خاصة من نظرية بوانكري.

6 - نظرية الألعاب والنقطة الصامدة :

لقد منحت جائزة نوبل في الاقتصاد عام 1994 إلى جون هارسانيي Harsanyi ي(1920-2000) وجون ناش Nash ش(1928-؟) ورينهارد سلتن Selten ن(1930-؟) وذلك لتحديدهم مفهوم التوازن في نظرية الألعاب غير التعاونية. وكان الفائز ناش – الذي نال أيضا جائزة من الهيئة الرياضية الأمريكية عام 1999 - قد عرف اضطرابات حادة خلال حياته المهنية إذ كان عليه التخلي عن منصبه كأستاذ بمعهد مساشوستس التقاني MIT بسبب اختلالات عقلية شديدة بيّنت الفحوص بأنها ميؤوس منها. وبعد أن قضى فترات عديدة بالمستشفيات مرّ بفترة هدوء لم تكن متوقعة وراح يمارس نشاطه الاعتيادي فتمكّن من نيل تلك الجائزة الشهيرة. يرجع تاريخ النتيجة المسماة "نظرية توازن لعبة غير تعاونية" التي مكنته من الحصول على جائزة نوبل عام 1994 إلى أزيد من أربعين سنة. وكانت تلك النتيجة مبنية على نظرية النقطة الصامدة.

لقد بحث ناش في الحالات التي تكون فيها توقعات اللاعبين - في سياق لعبة غير تعاونية - متفقة فيما بينها، أي تلك الوضعيات التي يقدّر خلالها كل لاعب بأنه لعب بأفضل طريقة وفق مقاييسه الخاصة وبمراعاة اختيار الآخرين. لنوضح هذه المفاهيم من خلال مثال بسيط يتدخل فيه لاعبان إثنان عمر وزيد، وهو مثال مقتبس من مسألة طرحت منذ قرابة ثلاثة قرون من قبل الفرنسي بيير ريموند دي مونتمور de Montmort ر(1678-1719) الشهير في الألعاب ونظريتها.

تقتضي هذه اللعبة أن يخفي عمر أحد يديه وراء ظهره ويتركها مبسوطة أو مقبوضة ويطلب من زيد أن يعرف طبيعتها. فإن أخطأ زيد فلا يعطيه عمر شيئا. أما إذا أصاب فإن عمر يسلمه 4 د. إن كانت اليد مقبوضة أو 1 د. إن كانت اليد مبسوطة. وهكذا يبدو للوهلة الأولى أن في فائدة عمر أن يترك يده مبسوطة لأن زيد سيكسب، في أحسن الأحوال، 1 د. لكن بمقدور عمر أن يفكّر بأن زيد سيقوم بهذا الاستدلال المنطقي ذاته ويستنتج بأن يده مبسوطة. ولذا قد يستحسن بالنسبة لعمر أن يقبض يده لكي لا يكون ضحية منطق زيد. غير أن هذا الأخير يستطيع أيضا التعمق في هذا المنطق الذي يحتمل أن يستخدمه عمر ويستشفّ اختيار عمر الجديد، وهكذا دواليك. ومن ثم نرى أن هذا الاستدلال يمكن أن يتواصل لانهائيا بدون التمكن من البت في أفضل اختيار لكلا الطرفين.

لكن الوضع سيختلف إن قرر عمر اختيار احتمال بخصوص قبض يده (ومن ثم اختيار احتمال
1f- r لبسطها) ثم يقرر بالقرعة بسط أو قبض يده وفق ذلك الاحتمال. لنفترض أن اختيار زيد قد تم بنفس الطريقة باعتبار أن احتمال أن تكون يد عمر مقبوضة يساوي u. لنقدّر الآن ما يمكن أن يربحه زيد بدلالة الاحتمالين r و u. إن احتمال أن تكون يد عمر مقبوضة وأن يجيب زيد بأن اليد مقبوضة يساوي الجداء ru. أما احتمال أن تكون اليد مبسوطة وأن يجيب زيد بأنها مبسوطة فتساوي الجداء . وبما أن حدوث الحالة الأولى يجعل زيد يربح 4 د. فإن هذه الحالة تجعل زيد يأمل (عندما يعيد عمر وزيد اللعب عديد المرات) في ربح 4 د. مضاعفة (أي 4ru د.). أما حدوث الحالة الثانية فيجعل زيد يأمل في ربح 1 د. مضاعفا مرة (أي د.). وهكذا ندرك أن أمل ربح زيد، الذي نرمز إليه بـ h، يساوي

h(r , u) = 4ru +(1 - r)(1 - u) =5ru - r - u + 1

ولما كان عمر يخسر كل ما يربحه زيد فإن أمل ربح روجيه، الذي نرمز إليه بـ f، يساوي h-.

عندما يختار لاعب احتماله فإنه لا يفكر بمعزل عن الآخر إذ عليه أن يراعي وجهة نظر خصمه : ينبغي عليه أن يجعل أمل ربحه يأخذ أكبر قيمة ممكنة، مع العلم أن الخصم أيضا يقوم بنفس الإجراء. لقد تمكّن الرياضي ناش من التعبير، بلغة رياضية، عن هذا البحث في الحصول على حل وسطٍ بين أملي ربح اللاعبيْن. وفي آخر المطاف يختار اللاعبان الاحتمالين ^*r و ^*u (إن وجدا) بحيث يدرك h قيمة عظمى محلية عند هذه النقطة بالنسبة لـ u وقيمة صغرى محلية بالنسبة لـ r (لاحظ أن f = -h، وبالتالي فإن القيمة العظمى لـ f تقابلها قيمة صغرى لـ h). تحدث هذه الوضعية في الحالة التي يكون فيها البيان الممثل لـ h بجوار النقطة (r* , u*r) في شكل سرج حصان أو رأس جبل. وتسمى النقطة (r* , u*r) اليوم توازن ناش. وهكذا فإن شروط وجود توازن ناش تتمثل في تقعّر f بالنسبة لـ r وتحدّبها بالنسبة لـ u. نشير إلى أن دالة الربح تتمتع عموما بهذه الخاصية. وقد عمّم ناش هذه النتيجة إلى حالة ثلاثة لاعبين.

7- تطبيقات أخرى :

إن تطبيقات نظرية النقطة الصامدة لباناخ وبروور وتعميماتها عديدة ومتنوعة. فهي لا تقتصر على الميكانيكا السماوية أو الاقتصاد أو نظرية الألعاب. ذلك أن جلّ مبرهنات وجود حلّ لمختلف المعادلات تتطلب استخدام هذه النظرية. ومن الصعب العثور على عدد من أعداد مجلة رياضية مخصص للمعادلات التفاضلية أو التكاملية أو التفاضلية الجزئية بدون أن نجد فيها مقال يعتمد على نظرية من نظريات النقطة الصامدة. ولما كانت أغلبية النماذج الرياضية للظواهر الطبيعية والمسائل التقانية تؤدي إلى مثل تلك المعادلات فمن اليسير أن نتخيّل كم هي الأبحاث التي تستند مضامينها إلى نظرية النقاط الصامدة.

ننهي حديثنا عن النقطة الصامدة بالإشارة إلى موضوع من مواضيع الساعة، وهو المتعلق بدراسة تطور مجتمعات من الكائنات الحيّة المتفاعلة فيما بينها: إذا تعايش مجتمعان في منطقة معينة يمكنهما على سبيل المثال التعاون والتنافس من أجل الحصول على لقمة عيش مشتركة. كما يمكن لهذين المجتمعين أن يتناحرا. تتم نمذجة التطوّر الزمني للمجتمعين عبر جملة معادلتين تفاضليتين غير خطيتين يستحيل حلها صراحة. وحتى نحافظ على اختلاف المجتمعات فمن الأهمية بمكان أن نحدّد شروطا تضمن التعايش، أي شروط تجعل عدد أفراد كل مجتمع يفوق عددا موجبا تماما. ثم يمكننا أن نتساءل عما إذا كانت تلك الجملة ستدرك توازنا يجعل كلا من المجتمعين يحافظ على حجم ثابت. إن وجود ذلك التوازن هو نتيجة لنظرية بروور التي تمتد صلاحيتها إلى عدد كيفي من المجتمعات.

وتغص الكتابات الرياضية بعدد ضخم من المسائل المفتوحة حول نظرية النقطة الصامدة. إليك هذا التعريف

تعريف :

نقول عن فضاء طبولوجي E إنه يتمتع بخاصية النقطة الصامدة إن قبل كل تطبيق مستمر من E نحو E نقطة صامدة على الأقل.

تتمتع الكرة في فضاء أقليدي منتهي البعد بهذه الخاصية. أما الدائرة والحلقة في المستوي، وكذا غلاف الكرة في الفضاء، فلا تتمتع بهذه الخاصية، وذلك راجع إلى بنياتها المتميزة بوجود "ثقب". ورغم ذلك أنشأ الرياضي الياباني كينوشيتا Kinoshita، عام 1953، في الفضاء المألوف مجموعة متراصة وقابلة للتقلص (أي قابلة للتشويه بشكل مستمر يمكّن من ردها إلى نقطة) لا تتمتع بخاصية النقطة الصامدة ! ويرى المختصون أننا لا زلنا بعيدين جدا عن بلوغ نتيجة تمكننا من تحديد مجموعة الفضاءات الطبولوجية المتمتعة بخاصية النقطة الصامدة

» النقطه الصامدة