الهندسه التحليليه مهم ومشيق

الهندسة التحليلية

مقدمة :

قبل القرن السادس عشر الميلادي كان ينظر إلى الجبر والهندسة كموضوعين منفصلين تماما إلى أن جاء العالم الفرنسي (ديكارت ) و ربط بين الموضوعين بموضوع واحد وهو ما نسميه بالهندسة التحليلية وسنوضح في هذا البحث كيفية الدمج بين الجبر والهندسة بحيث أمكن تمثيل المعادلة الجبرية هندسيا بواسطة منحنيات بسيطة وهي على سبيل المثال ( المستقيم ، الدائرة و القطوع )، وأيضا أصبح بالا مكان وصف المنحنيات الهندسية بمعادلات جبرية وتوضيح مفاهيم التفاضل والتكامل.
بدأت الفكرة الأساسية بتمثيل كل نقطة في المستوى ببعديها عن مستقيمين متعامدين يلتقيان في نقطة تسمى بنقطة الأصل.
ويسمى المستقيمان المتعامدين بمحوري الإحداثيات وبناء على هذا التعريف فان إحداثيات نقطة الأصل هي (0،0)
وبناء على ذلك تكون قد خصصنا لكل نقطة في المستوى زوجا مرتبا وحيدا من الأعداد (س،ص) وكل زوج مرتب يخصه نقطة واحدة (وواحدة فقط)في المستوى وبذلك فانه يكون لدينا تطبيقا من مجموعة نقاط المستوى }(س،ص):س،ص Э ح { ويقرن هذا التطبيق كل نقطة في المستوى بزوج مرتب وحيد في مجموعة الأزواج المرتبة.

أمثلة:
محددي الإحداثيات يقسمان المستوى الإحداثي إلى أربعة أرباع
الربع الأول = }(س،ص) : س>0 ، ص>0، س،ص Эح {
الربع الثاني =
.
.
المحور السيني = } (س،ص) : س Эح ، ص=0{
المحور الصادي=
تمرين: اكتب مجموعة النقاط التي تمثل مستقيما يوازي محور الصادات ويمر بالنقطة (1،2)

الإجابة: ل=} (س،ص): س=2 ، ص Эح{

المسافة أو البعد بين نقطتين:

يمكن استنتاج القانون باستخدام نظرية فيثاغورث

| أب| = (س₂ – س₁)² + (ص₂- ص₁)²

إحداثي نقطة تقسيم قطعة مستقيمة:

أولا: إذا كانت النقطة هي منتصف القطعة أب نستخدم القانون ( س₁+س₂، ص₁+ص₂)
2 2
ثانيا: إذا كانت النقطة تقسم أب من الداخل بنسبة ل₁:ل₂ نستخدم القانون
(س₂ل₁+ س₁ل₂، ص₂ل₁+ص₁ل₂) حيث أ(س₁، ص₁)،ب(س₂،ص₂)، ل₁من جهة أ،ل₂من جهة ب
ل₁+ل₂ ل₁+ل₂

ثالثا: النقطة التي تقسم القطعة المستقيمة أب حيث أ(س₁،ص₁)،ب(س₂،ص₂) من الخارج بنسبة ل₁:ل₂ ، نستخدم القانون (ل₁س₂- ل₂س₁ ، ل₁ص₂- ل₂ص₁)
ل₁- ل₂ ل₁- ل₂

تدريب: أثبت أن نقطة تقاطع القطع المتوسطة في المثلث أ(س₁،ص₁)، ب(س₂،ص₂)، جـ(س₃،ص₃) هي ( س₁+ س₂+ س₃ ، ص₁+ ص₂+ ص₃ )
3 3

ميل المستقيم:

عند التحرك من أ إلى ب على المستقيم أب هناك تغير رأسي وتغير أفقي وتسمى النسبة بين التغير الرأسي والتغير الأفقي (ميل المستقيم)

أي أن ميل المستقيم = التغير في ص

التغير في س

م = ص

س

:. م = ص₂- ص₁

س₂- س₁

كذلك م = ظاهـ حيث هـ هي قياس الزاوية التي يصنعها المستقيم مع الاتجاه الموجب لمحور السينات

ونلاحظ أن:

1- المستقيم الرأسي ليس له ميل.

2- المستقيم الأفقي ميله يساوي صفراً.

3- يكون ميل المستقيم موجبا إذا صنع زاوية حادة مع الاتجاه الموجب لمحور السينات وسالبا إذا صنع زاوية منفرجة.

4- المستقيمان المتوازيان يكون ميلاهما متساويان

5- شرط تعامد مستقيمين ميلاهما م₁، م₂ هو م₁ x م₂ = -1

معادلة المستقيم:

1) المستقيم ل يمر بالنقطة (س₁،ص₁) ويوازي محور السينات تكون معادلته ص= ص₁

2) المستقيم ل يمر بالنقطة (س₁، ص₁) ويوازي محور الصادات تكون معادلته س= س₁

3) ميل المستقيم ل معلوم ويساوي م ويمر بالنقطة (س₁، ص₁) تكون معادلته:
ص- ص₁= م (س- س₁)

4) معادلة المستقيم الذي ميله م ويقطع من محور الصادات جزءا قدره جـ هي ص= م س+ جـ

5) معادلة المستقيم الذي يقطع من محور السينات جزءا طوله (أ) ويقطع من محور الصادات

جزءا طوله (ب) هي: س + ص = 1
أ ب

6) الصورة العامة لمعادلة مستقيم هي أس+ ب ص+ جـ =0 ، ويكون:

1- ميل المستقيم = - أ أي – معامل س
ب معامل ص

2- الجزء المقطوع من محور الصادات = - جـ
ب

7) إذا كانت معادلة المستقيم ل هي أس+ ب ص+ جـ = صفر ، فان بعد النقطة (س₁، ص₁) عن المستقيم ل يعطى بالعلاقة ف = | أس₁+ ب ص₁+ جـ |

أ² + ب²

العلاقة بين مستقيمين في المستوى الاحداثي:

لأي مستقيمين ل₁، ل₂ في مستوى إحداثي تتعين حالة واحدة من الحالات الثلاث الآتية:

1) ل₁ يقطع ل₂ في نقطة إذا كان م₁≠ م₂ ، وينتج أ₁ ≠ أ₂
ب₁ ب₂

2) ل₁ ينطبق على ل₂ إذا كانت معادلة المستقيم الأول هي نفس معادلة المستقيم الثاني مضروبة في عدد حقيقي وينتج أن : أ₁ = ب₁ = جـ₁
أ₂ ب₂ جـ₂

3) ل₁ لا يقطع ل₂ أي ل₁∩ ل₂ = Ф ، إذا كان أ₁ = ب₁ ≠ جـ₁
أ₂ ب₂ جـ₂

مثال: بين فيما إذا كان المستقيمان الآتيان منطبقان أو متقاطعان أو غير متقاطعين

ل₁: س+ 3ص = 7

ل₂: 2س+ 6ص – 14=0

الدائرة

تعريف : الدائرة هي مجموعة جميع النقاط في المستوى والتي تكون على بعد ثابت من نقطة ثابتة تسمى النقطة الثابتة مركز الدائرة ويسمى البعد الثابت طول نصف القطر نق

أولا: معادلة الدائرة التي مركزها نقطة الأصل وطول نصف قطرها نق : س²+ ص²= نق²

ثانيا: معادلة الدائرة التي مركزها (د،هـ) وطول نصف قطرها نق : (س- د)² + (ص – هـ)² = نق²

ثالثا : الصورة العامة لمعادلة الدائرة : س²+ ص² + أس +ب ص + جـ = 0

مركز هذه الدائرة ( -أ ، - ب ) وطول نصف قطرها

2 2 نق = 1 أ² + ب² – 4جـ

2

رابعا : وضع نقطة ن بالنسبة لدائرة مركزها م وطول نصف قطرها نق:

1) ن م = نق تكون النقطة ن Э للدائرة

2) ن م < نق تقع النقطة ن داخل الدائرة

3) ن م > نق تقع النقطة ن خارج الدائرة

خامسا: وضع مستقيم بالنسبة لدائرة بفرض أن ف بعد مركز الدائرة عن المستقيم ل

1) المستقيم ل لا يقطع الدائرة م في أي نقطة يكون ف> نق

2) المستقيم ل يقطع الدائرة في نقطتين مختلفتين يكون ف < نق المستقيم مماس للدائرة ( يقطع الدائرة في نقطة واحدة) يكون ف = نق

سادسا : وضع دائرة بالنسبة لأخرى:

الدائرة الأولى مركزها م₁ وطول نصف قطرها نق₁

والدائرة الثانية مركزها م₂ وطول نصف قطرها نق₂

فإذا كانت المسافة بين المركزين م₁م₂ = ف فإن

1) الدائرتان متباعدتان ف> نق₁ + نق₂

2) الدائرتان متماستان من الخارج ف = نق₁ + نق₂

3) الدائرتان متماستان من الداخل ف = نق₂ - نق₁

4) تقع الدائرة الأولى بتمامها داخل الدائرة الثانية ف < نق₂ - نق₁

5) الدائرتان متقاطعتان في نقطتين مختلفتين = نق₂ - نق₁ < ف < نق₂ + نق₁

مثال: أثبت أن الدائرتين: (س-1)²+ (ص-1)²=2

س²+ ص²- 4س – 4ص =0

متماستان وبين نوع التماس ثم أوجد نقطة التماس.

الحل:

في الدائرة الأولى : م₁ = (1،1)، نق₁ = 2

في الدائرة الثانية م₂ = (2،2)، نق2= 1 (-4)²+ (-4)²-4

2

= 2 2

م₁م₂= ف = (2- 1)²+ (2- 1)² = 2

نق₂ - نق₁ = 2 2 - 2 = 2 = ف

:. الدائرتان متماستان من الداخل

نقطة التماس : س²+ ص²- 2س – 2ص =0

س²+ ص²- 4س – 4ص =0

بطرح المعادلتين 2س+ 2ص =0

:. ص= - س

ثم نكمل الحل.

تمرين: أثبت أن الدائرتين الآتيتين متماستان من الخارج ثم عين نقطة التماس:

س²+ ص²+ 2س + 2ص =2

س²+ ص²- 5س + 2ص+ 5 =0

معادلة مماس الدائرة عند أحد نقاطها:

يمكننا اثبات أن معادلة المماس عند النقطة (س/ ، ص/) هي:

س س/ + ص ص/ + أ (س+ س/) + ب (ص+ ص/) + جـ =0

2 2

تدريب : بين أن النقطة (1، 2) تنتمي للدائرة س²+ ص²+ 4س - 6ص+ 3 =0ثم أوجد (بطريقتين ) معادلة مماس الدائرة عند هذه النقطة

مشكوووور أخي محمد الشميري منور الملتقى بموضوعك الجميل

سلمت اناملك على ماخطته لنا في ملتقانا جميعا

تحياتي

مشكور حبيبي الغالي

نورت الرياضيات بمشاركاتك

» أهمية الكيمياء التحليليه