النقطه الصامدة

1- مقدمة :

نهتم في هذا الدرس ببعض جوانب مفهوم الاستمرار دون غيرها باعتبار أن القارئ ملم بهذا المفهوم الذي يتم تدريسه لتلاميذ المرحلة الثانوية. فلا بد لنا من التذكير بجملة من التعاريف وتقديم بعض النظريات والنتائج المتعلقة بالاستمرار. وسنهمل الحديث عن العديد من النتائج مثل تركيب الدوال المستمرة وعلاقة تحدّب الدوال بالاستمرار. بينما سنولي اهتماما خاصا بالاستمرار بانتظام لأن الكثير من النظرية المستخدمة في التحليل الرياضي، سواء في التعليم الثانوي أو الجامعي، تقوم عليه.

وسننتقل بعد ذلك إلى الحديث عن مفهوم التقليص contraction الذي يعتبر حالة خاصة من الاستمرار، وذلك لربطه بالنتيجة المعروفة بنظرية النقطة الصامدة théorème du point fixe. أما أهمية هذه النظرية في الرياضيات ومختلف الفروع المعرفية الأخرى فسنشير إليها خلال عرضنا. كما سنتناول بعض المراحل التاريخية التي مرت بها نظرية النقطة الصامدة التي تمثل إحدى أكثر النتائج الرياضية استعمالا.

لقد عرفت نظرية النقطة الصامدة خلال تطورها، على مرّ قرابة قرن من الزمن، العديد من الصيغ، وهو جعلها أداة رياضية فعالة في حل المسائل المختلفة. والظاهر أن برامجنا التعليمية في حقل الرياضيات لا تحيط هذه النظرية بالعناية التي تستحقها فركّزنا عليها في هذا الدرس بالذات لأنها منبثقة، في الواقع، من مفهوم الاستمرار.

2- الاستمرار :

ما معنى استمرار (أو اتصال) دالة ؟ نستطيع أن نقرّب فكرة الاستمرار بالقول إننا نتحدث في اللغة العامة عن استمرار وضعية إذا تواصلت دون حدوث انقطاعات مفاجئة في مسيرتها. وبنفس المنظور نقول عن دالة y=f (x)x إنها مستمرة إن كان أي تغيّر طفيف يطرأ على المتغير x يواكبه سلوك مماثل - أي تغير طفيف- لـ y. كيف نعبّر بالدقة الرياضية اللازمة عن هذا المفهوم ؟

تعريف :

لتكن دالة معرفة على مجال مفتوح I تنتمي إليه نقطة a. نقول عن f إنها مستمرة عند a إذا تحقق الشرطان :

أ- النهاية موجودة (في IR).

ب- .

نعبّر عن هذا التعريف رمزيا (يسميه البعض التعريف بـ أو ) بطريقة كوشي (1789-1857)-شفارتز (1843-1921) Cauchy-Schwarz بـ :

ونعرّف الاستمرار على المجال I إن كانت الدالة مستمرة عند كل نقطة من I. ونعرّف الاستمرار من جهة واحدة (من اليمين أو من اليسار) بتقييد مآل x نحو a بالقيد x > a أو x < a. وبطبيعة الحال فإن الاستمرار عند نقطة يعني أن هناك استمرارا من جهتي تلك النقطة.

كيف نفسّر العلاقة ؟

التي تعبر عن استمرار f عند a ؟

نلاحظ أولا أن تعني بأن f (x)x تنتمي إلى مجال مركزه f (a)x، وهو . كما أن تعني أن x ينتمي إلى مجال مركزه a، وهو . وبالتالي فالعلاقة المعبِّرة عن الاستمرار تقول :

مهما كان
المجال الذي مركزه f (a)i
فإنه يوجد
مجال مركزه a صورته محتواة في المجال الذي مركزه f (a)i.

وهذا يعني :

الصورة العكسية لأي مجال مركزه f (a)i تحتوي مجالا مركزه a.

وما دمنا نعرف جوار نقطة على أنه مجموعة تحتوي مجالا مركزه تلك النقطة فإننا نستطيع القول بأن :

استمرار f عند a
يعني
الصورة العكسية لكل جوار لـ f(a)i هو جوار لـ a.

ملاحظة : من المهم أن يكون المجال I مفتوحا في التعريف السابق. وإن لم يكن الأمر كذلك. فلا بد أن نضيف في التعريف شرطا يقول إن النقطة a تنتمي إلى مجال مفتوح محتوى في I. وبدون ذلك فإن الكتابة الظاهرة تحت الرمز lim في الشرطين الواردين في التعريف قد تؤدي إلى تناقض. ويتمثل هذا التناقض في عدم ضمان مكوث قيم x في مجموعة تعريف f عندما يقترب x من a. وكيف يجوز لنا في هذه الحالة كتابة f(x)i !! ؟

وعلى الرغم من الطابع المنطقي والحدسي لمفهوم النهاية والاستمرار فإن التجربة تثبت بأنه مفهوم صعب الإدراك بالنسبة للطلبة كما أن التجربة التي عرفتها الرياضيات قبل عهد كوشي-شفارتز تؤكد ذلك إذ ظل الرياضيون عدة قرون ينظّرون قبل أن يهتدوا إلى ما وصلنا إليه الآن بخصوص هذا المفهوم.

لعل البعض يعتبر أن كل الدوال مستمرة (مثل دوال كثيرات الحدود ودالة الجيب وجيب التمام المثلثيتين والدالة اللوغريتمية والدالة الأسية، ...) وإن وجدنا بعضا منها غير مستمرة فعدم استمرارها لا يحدث إلا في نقاط معدودات أو في مجموعة قابلة للعد. إليك بعض الأمثلة في هذا السياق :

مثال 1 : الدالة المعرفة بـ

بيان الدالة f

مستمرة في كل مكان سوى في النقطة 0.

مثال 2 : تصور الآن أننا نعيد النظر في المثال السابق ونكرر ما حدث في 0 عند كل قيمة لـ x تساوي عددا صحيحا، أي أننا نعتبر الدالة المعرفة مثلا كما يلي (حيث يشير n لعنصر كيفي من مجموعة الأعداد الصحيحة) :

إنها دالة غير مستمرة عند عدد غير منته من النقاط. مجموعة هذه النقاط هي مجموعة الأعداد الصحيحة.

بيان الدالة g

مثال 3 : لديك مثلا آخر في الدالة المساوية للظل على كامل مجموعة الأعداد الحقيقية باستثناء المضاعفات الفردية لـ والمساوية لـ 0 (مثلا) عند تلك المضاعفات.

أرسم بيان هذه الدالة.

نحصل بهذا الشكل على دالة مستمرة في كل مكان ما عدا عند المضاعفات الفردية .

مثال 4 : يمكن أيضا التفكير في الدالة المعرفة على المجال IR كالتالي حيث يشير [x] إلى الجزء الصحيح لـ x :

u(x) = [x]r

إن الدالة u مستمرة ما عدا عند قيم مجموعة الأعداد الصحيحة.

بيان الدالة u

مثال 5 : نطرح السؤال التالي : هل توجد دالة ليست مستمرة في أية نقطة على IR ؟ هذا السؤال ليس وليد اليوم ولذا بحث فيه أسلافنا واهتدوا إلى إنشاء دالة من هذا القبيل. خذ مثلا الدالة التالية حيث يرمز Q لمجموعة الأعداد الناطقة :

لاحظ أنها دالة لا يمكن رسم بيانها وهي غير مستمرة عند كل نقطة من IR.

مثال 6 : نطرح السؤال التالي : هل توجد دالة مستمرة في كل مكان ولا تقبل الاشتقاق في أية نقطة على IR ؟ لقد أنشأ أسلافنا دالة من هذا القبيل، وتسمى هذه الدالة دالة فان ديرفاردن Van der Waerdenن (1903-1996) .

» النقطه الصامدة